Como calcular as mudanças percentuais compostas

Um Soroban para uma contagem rápida

David Wilson

O que é uma mudança percentual composta?

Todos estamos cientes das mudanças percentuais. Seja 25% de desconto no custo de uma nova televisão nas vendas da Black Friday ou um aumento de 5% nas passagens de trem (de novo), alterar um valor em uma porcentagem é uma habilidade diária. Mas e quanto às mudanças percentuais compostas?

Imagine que você coloque £ 100 no banco em uma conta de poupança com uma taxa de juros fixa de 4% paga anualmente. No final do ano (supondo que você não tenha tocado no depósito original), seu dinheiro terá aumentado 4%, dando a você £ 4 extras e um total de £ 104 na conta.

Se você deixar todo esse dinheiro na conta por mais um ano, o que acontece então? Você recebe mais £ 4 e um total de £ 108 no banco? Não. Pelo segundo ano, você não só ganha 4% sobre seus £ 100 originais, que ainda estão no banco, mas também 4% sobre os £ 4 extras que ganhou com juros no ano anterior. 4% de £ 104 é £ 4,16, o que significa que no final do segundo ano você terá £ 104 + £ 4,16 = £ 108,16 em sua conta. Supondo que você não toque no dinheiro em um ponto e que a taxa de juros de 4% permaneça constante, você ganhará mais dinheiro a cada ano à medida que o valor em sua conta aumentar. São juros compostos.

Nota: Se você acabou de receber £ 4 todos os anos, isso seria conhecido como juros simples.

Como calcular o crescimento percentual composto

Vejamos como calcular o crescimento percentual composto (também conhecido como juros compostos ao lidar com exemplos como o nosso).

Como antes, você começa com £ 100 na conta bancária e uma taxa de juros fixa de 4%. Poderíamos encontrar 4% dividindo £ 100 por 100 para obter 1% e depois multiplicando por 4. Isso é ótimo para um ano, mas se quiséssemos calcular quanto teremos na conta 5 ou 10 anos depois, vai demorar muito.

Em vez disso, usaremos algo chamado método do multiplicador. Se chamarmos nosso depósito original de 100%, depois de um aumento de 4%, terminaremos com 104%. Para calcular 104% de um valor, primeiro convertemos a porcentagem em um decimal dividindo por 100, resultando em 104/100 = 1,04. Multiplicar por 1,04 aumentará um montante em 4% de uma só vez.

Para o nosso exemplo, temos £ 100 para começar, portanto, após um ano, temos £ 100 x 1,04 = £ 104. Depois de outro ano, temos £ 104 x 1,04 = £ 108,16, depois £ 108,16 x 1,04 = £ 112,49 e assim por diante. No entanto, podemos acelerar ainda mais.

Estamos multiplicando pelo mesmo multiplicador, 1,04, uma vez para cada ano que passa, então se quisermos encontrar o total vários anos adiante, podemos multiplicar por 1,04 esse número de vezes usando potências.

Por exemplo, após 5 anos, teremos £ 100 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04, que é o mesmo que £ 100 x 1,04 ⁵ = £ 121,67.

Após 25 anos, teríamos £ 100 x 1,04 ²⁵ = £ 266,58. Imagine quanto tempo isso teria levado se calculássemos 4% para cada ano separadamente!

Outro exemplo de crescimento percentual composto

Vamos tentar outro exemplo de crescimento percentual composto.

A população de uma cidade está aumentando 12% a cada ano. Se começar com 30.000 pessoas, e assumindo que esse aumento permaneça constante, qual será a população em 6 anos? Que tal daqui a 20 anos?

Então, estamos começando com 100% e queremos um aumento de 12%, portanto, terminaremos com 112%, que é 1,12 como um decimal.

Portanto, após 6 anos, a população será de 30.000 x 1,12 ⁶ = 59 215.

Após 20 anos, será 30.000 x 1,12 ²⁰ = 289 389.

E as reduções de porcentagem de compostos?

Uma diminuição da porcentagem composta (também conhecida como decomposição composta) ocorre quando uma quantidade diminui na mesma porcentagem várias vezes. O método para descobrir isso é muito semelhante ao de encontrar um aumento.

Suponha que você comprou um carro por £ 20.000 e, a cada ano, o valor do carro cai 15%. Queremos saber quanto valerá o carro daqui a cinco anos.

Poderíamos encontrar 15% de £ 20.000, subtrair isso, então encontrar 15% do novo valor e assim por diante, mas, novamente, isso vai demorar um pouco. Em vez disso, vamos olhar para o uso de multiplicadores como fizemos acima.

Se começarmos com 100%, uma redução de 15% nos deixará com 85%. Portanto, em vez de pensar nisso como uma redução de 15% a cada ano, podemos pensar nisso como uma redução de 85%. 85% como um decimal é 85/100 = 0,85, então, para encontrar 85%, multiplicamos por 0,85. Para fazer isso várias vezes, usamos poderes como fizemos acima.

Então, voltando ao nosso exemplo do carro, após 5 anos o valor será £ 20.000 x 0,85 ⁵ = £ 8.874,11.

Após 10 anos, o valor será de £ 20.000 x 0,85 ¹⁰ = £ 3 937,49.

Confira o vídeo abaixo para mais exemplos.

Juros compostos no canal do DoingMaths no YouTube

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