Um guia aprofundado para as variáveis gregas de negociação de opções

Os gregos

Os gregos - delta, gama, theta, vega e rho - são cinco variáveis que ajudam a identificar os riscos de uma posição de opção.

Os riscos que os investidores enfrentam nas opções não são unidimensionais. Para lidar com as mudanças nas condições de mercado, o investidor deve estar ciente da magnitude dessas mudanças. Para ver se as mudanças são grandes ou pequenas, se criam um risco maior ou menor, a teoria das opções e os modelos de precificação de opções fornecem aos investidores variáveis que identificam as características de risco de sua posição de opções. Essas variáveis são chamadas de gregos. Há cinco gregos que monitoramos: delta, gamma, theta, vega e rho.

Como os gregos são derivados da fórmula de Black & Scholes, começaremos explicando um pouco mais sobre isso.

Black & Scholes

A fórmula de Black e Scholes, também conhecida como fórmula de Black, Scholes e Merton, é a ferramenta padrão de mercado para opções de preços. Esta fórmula precifica a opção em função do preço atual da ação S ₀, o tempo até o vencimento da opção T, seu exercício X, a volatilidade σ e a taxa de juros r:

chamar = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

colocar = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) com

onde N (x) é a função de distribuição normal cumulativa para a distribuição normal padrão, ou seja, a probabilidade de que uma variável aleatória ~ N (0,1) (com uma distribuição normal padrão) seja menor que x.

Antes de discutir a fórmula, vamos estabelecer as suposições subjacentes. A fórmula de Black and Scholes assume:

Os retornos são IID (independentes e distribuídos de forma idêntica) com uma distribuição normal.
A volatilidade futura é conhecida e constante.
A taxa de juros futura é conhecida, constante e a mesma para empréstimos e empréstimos.
O caminho do estoque é contínuo e a negociação contínua é possível.
Os custos de transação são nulos.

Para desenvolver a teoria, assumimos que todas essas suposições são válidas. Esta fórmula é o padrão de mercado porque é extremamente robusta com relação a violações de suas premissas.

Delta

O primeiro grego que será discutido é o delta. Basicamente, o delta é a sensibilidade do valor teórico de uma opção a uma mudança no preço do contrato subjacente. Mais simples, o delta é a alteração do valor de uma opção quando o valor subjacente aumenta em 1 dólar. Por exemplo:

Δ _call = ∂c / ∂S = N (d ₁) e Δ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1,

com N (d ₁) como na fórmula BS.

O valor de uma opção de compra aumenta quando o preço da ação sobe, então o delta de uma opção de compra é positivo. Por outro lado, o valor de uma opção de venda diminui quando o preço das ações sobe, de modo que o delta da opção de venda é negativo.

Pode-se notar que N (x) é uma função de densidade de probabilidade, então leva valor em. O delta de uma chamada está então sempre dentro e o delta de uma colocada. Como o nível subjacente é geralmente de 100 ações, o delta da opção é multiplicado por 100. Por exemplo, uma opção com um delta de 0,25 é considerada um delta 25. Quanto maior o delta, mais semelhante será a alteração do valor da opção ser para o estoque subjacente. O valor de uma opção com delta 100 se moverá exatamente na mesma taxa da ação subjacente. Observe também que a operação derivada é linear, então podemos calcular o delta de cada opção e somá-los para obter o delta de todo o portfólio (então, pode estar fora, é claro).

Quando uma opção se aproxima do vencimento, seu delta muda, uma vez que a probabilidade de expirar dentro ou fora da moeda muda e a distribuição normal se estreita e se concentra em torno da média. À medida que uma opção se aproxima do vencimento, as opções dentro do dinheiro irão se mover para o delta 100 e as opções fora do dinheiro irão para o delta 0. As opções dentro do dinheiro, por outro lado, permanecerão em torno do delta 50.

À medida que o preço do estoque subjacente muda, o delta também muda. Isso é esperado, pois d ₁ é uma função do preço da ação.

Delta de uma chamada

Uma interpretação prática do delta é o índice de hedge: a quantidade de ações que devem ser compradas ou vendidas para neutralizar o risco direcional de uma opção. A partir da fórmula BS, podemos ver outra interpretação. A grosso modo, podemos dizer que o delta de uma opção é sua probabilidade de expirar no dinheiro. (Para uma opção de venda, tomaremos o valor absoluto). Esta aproximação só funciona para opções europeias.

Resumindo, existem três interpretações de delta:

A mudança no valor de uma opção se o subjacente aumentar em 1 dólar.
A relação de hedge: o número de ações a serem compradas ou vendidas para neutralizar o risco direcional da posição.
A chance de a opção estar dentro do dinheiro no vencimento

→ Chamadas OTM: o delta tende a 0 conforme nos aproximamos da expiração.

→ Chamadas ITM: o delta tende para 100 com o passar do tempo.

Delta de uma opção de venda versus preço subjacente

Delta versus Volatilidade

À medida que a volatilidade aumenta (diminui), o delta de uma chamada vai para (longe de) 0,50 e o delta de uma opção vai para (longe de) -0,50. Portanto, se a volatilidade aumenta (diminui), o delta de uma opção monetária diminui (aumenta). No caso de uma opção fora do dinheiro, é exatamente o oposto.

Delta versus Tempo

Conforme o tempo diminui, o delta de uma chamada se afasta de 0,50 e o delta de uma colocação afasta de -0,50. Conforme o tempo passa, o delta de uma in the money call move-se para 1 e o delta de uma out the money para 0.

Gama

Gama é a derivada de delta em função do preço das ações. Uma vez que delta é o derivado do valor da opção em função da ação subjacente, gama é a variação do delta quando o preço da ação aumenta em 1 dólar. Está escrito da seguinte forma:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

com d ₁ como na fórmula BS e N 'a primeira derivada da função de densidade cumulativa gaussiana, que é a densidade gaussiana usual:

Gama versus preço das ações, gama versus tempo

Costuma-se dizer que gama atinge seu valor máximo quando uma opção é ATM. Isso está correto como uma primeira aproximação, no entanto, o máximo real é alcançado quando o preço da ação está logo abaixo do preço de exercício. Este efeito é mostrado na parte esquerda da figura acima para uma ação negociada a 100 dólares. Dado um ataque X, σ volatilidade, uma taxa r, e um tempo de expiração T, o valor máximo da gama dando é S _{max Γ} = Xe ^{- (r + 3σ ^ 2/2) t}.

A curva gama de uma chamada e uma venda são idênticas. Isso é consistente com o que dissemos sobre chamadas e colocações em geral, bem como gama em particular até agora.

À medida que o tempo de expiração diminui, o gama e o teta das opções no dinheiro aumentam. Pouco antes da expiração, essas variáveis podem se tornar dramaticamente grandes.

Gama versus Tempo

Como mostra a figura acima, o gráfico se estreita, mas a superfície total abaixo do gráfico permanece inalterada. Como consequência, o gráfico obtém um topo muito mais alto. O topo mais alto simboliza o aumento de gama e teta conforme o tempo de expiração diminui.

Por causa do comportamento das chamadas ITM, ATM e OTM, vemos que a curva delta aumentará em torno do strike conforme a expiração se aproxima. Portanto, a gama aumentará para a opção ATM com o passar do tempo. No entanto, isso não é verdade para as opções de OTM e ITM.

Gama é um parâmetro de risco importante porque determina quanto dinheiro podemos ganhar ou perder em nossa carteira delta neutra conforme o preço das ações muda. No exemplo a seguir, avaliaremos o P / L de uma posição de opção como consequência do movimento do subjacente. Assumiremos uma gama constante de 2,7, então o delta muda em 2,7 por movimento de dólar do subjacente.

Suponha que compramos a opção de compra 80 1000 vezes a 5,52 com um preço de ação de 79 dólares. Para ser delta neutro, devemos vender 51.100 ações. O preço das ações se desenvolve da seguinte forma:



t =	Preço da ação
0	79
1	84
2	76
3	79

Em t = 1 e t = 2, eu reajusto minha cobertura para ser delta neutro. Em t = 3, fecho minha posição.

Três maneiras de calcular a mudança no valor de uma posição

Aqui estão três maneiras de calcular a mudança no valor de nossa posição, a primeira usando fluxo de caixa, a segunda usando delta e a terceira usando gama.

1. Calculando o lucro usando o fluxo de caixa

Primeiro, examinamos os fluxos de caixa, conforme mostrado na tabela abaixo. A segunda coluna mostra os fluxos de caixa relacionados à chamada e a terceira relacionada à minha posição de estoque. A última linha soma tudo:

Então, eventualmente, obtemos um lucro de 132.300. Se formos comprados em opções e, portanto, tivermos uma posição longa gama, precisamos comprar ações se o preço das ações diminuir e vender ações se o preço das ações aumentar (comprar na baixa, vender na alta), então sempre obtemos lucro se as ações se moverem. Verifique você mesmo se isso é válido tanto para chamadas quanto para opções de venda.

2. Cálculo do lucro usando Delta

Agora consideramos uma segunda maneira de calcular os lucros. Os negócios são os mesmos, apenas o cálculo do lucro difere. Com esse método consideramos simultaneamente a opção e a posição do estoque. Temos o estoque como um hedge para a opção, então vamos considerar apenas a posição delta total. Começamos delta neutro. Então o estoque se move, nós ganhamos deltas. (Calculamos os deltas que ganhamos usando a diferença entre dois deltas fornecidos para os valores iniciais e finais do estoque. Para obter o delta médio durante o movimento, consideramos esse valor dividido por dois). A carteira ganha valor de acordo com seus deltas conforme explicado a seguir.

Neste caso, usamos o método delta médio. Ou seja, nós:

Calcule a posição delta média durante o movimento da ação.
Multiplique isso pelo intervalo para calcular o lucro.

No momento t, fazemos hedge, então compramos / vendemos ações de forma que o delta fique neutro novamente.

Vamos examinar isso com mais atenção:

Em t = 0, as ações são negociadas em 79, iniciamos uma posição neutra delta, ou seja, temos 51.100 ações vendidas
Em t = 1, as ações são negociadas em 84. O delta da posição da opção é 64,6 * 1000 (das opções) -51100 (das ações). Entre t = 0 e t = 1, minha posição delta foi de 0 a 13.500. Meu delta médio para a mudança foi então (13.500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 por chamada). Para calcular o PnL da minha posição, multiplico esses deltas pela quantidade de movimentação das ações: 6570 * 5 = 33.750 dólares. Para realizar esse lucro, preciso vender ações para voltar a ser delta neutro.
Em t = 2, as ações são negociadas em 76. O delta da minha posição de opção é 43,0 * 1000 e o delta da minha posição de ações é -64.600…

Exemplo de cálculo de lucro usando Gamma.

3. Calculando o lucro usando gama

No exemplo acima, calculamos a posição delta média tomando a média da posição delta inicial e a posição delta final. Isso também pode ser obtido usando o gama, já que o gama define a variação do delta por dólar.

Vamos esclarecer como:

Em t = 0, as ações são negociadas em 79, delta neutro, gama é 2.700.
Em t = 1, as ações são negociadas em 84. As ações subiram 5, então minha nova posição delta é 5 * 2.700. No início do movimento, meu delta era 0, então meu delta médio é 5 * 2.700 / 2. O estoque subiu 5, então o portfólio ganhou 5 * delta médio = 5 * 5 * 2.700 / 2. A carteira é coberta de forma que o delta seja 0 novamente. Chamamos isso de "escalpelamento da gama". Uma posição gama longa permite comprar na baixa e vender na alta.
Em t = 2, as ações são negociadas em 76. Este é um movimento de 8 dólares, minha nova posição delta é 8 * 2700…

Pode-se usar a seguinte fórmula genérica se começarmos com um portfólio delta neutro:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2

Um guia aprofundado para as variáveis ​​gregas de negociação de opções

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